Обсудив некоторые важные особенности вычислительных задач, обратим внимание на те методы, которые используются в вычислительной математике для преобразования задач к виду, удобному для реализации на ЭВМ, и позволяют конструировать вычислительные алгоритмы. Мы будем называть эти методы вычислительными. С некоторой степенью условности можно разбить вычислительные методы на следующие классы: 1) методы эквивалентных преобразований; 2)
методы аппроксимации; 3) прямые (точные) методы; 4) итерационные методы; 5) методы статистических испытаний (методы Монте-Карло). Метод, осуществляющий вычисление решения конкретной задачи, может иметь довольно сложную структуру, но его элементарными шагами, являются, как правило, реализации указанных методов. Дадим о них общее представление.
1. Методы эквивалентных преобразований.
Эти методы позволяют заменить исходную задачу другой, имеющей то же решение. Выполнение эквивалентных преобразований оказывается полезным, если новая задача проще исходной или обладает лучшими свойствами, или для нее существует известный метод решения, а, может быть, и готовая программа.
Пример 3.13. Эквивалентное преобразование квадратного уравнения к виду (выделение полного квадрата) сводит задачу к проблеме вычисления квадратного корня и приводит к известным для ее корней формулам (3.2).
Эквивалентные преобразования иногда позволяют свести решение исходной вычислительной задачи к решению вычислительной задачи совершенно иного типа.
Пример 3.14. Задача отыскания корня нелинейного уравнения может быть сведена к эквивалентной задаче поиска точки глобального минимума функции . В самом деле, функция неотрицательна и достигает минимального значения, равного нулю, при тех и только тех х, для которых
2. Методы аппроксимации.
Эти методы позволяют приблизить (аппроксимировать) исходную задачу другой, решение которой в определенном смысле близко к решению исходной задачи. Погрешность, возникающая при такой замене, называется погрешностью аппроксимации. Как правило, аппроксимирующая задача содержит некоторые параметры, позволяющие регулировать величину погрешности аппроксимации или воздействовать на другие свойства задачи. Принято говорить, что метод аппроксимации сходится, если погрешность аппроксимации стремится к нулю при стремлении параметров метода к некоторому предельному значению.
Пример 3.15. Один из простейших способов вычисления интеграла состоит в аппроксимации интеграла на основании формулы прямоугольников величиной
Шаг является здесь параметром метода. Так как представляет собой специальным образом построенную интегральную сумму, то из определения определенного интеграла следует, что при метод прямоугольников сходится,
Пример 3.16. Учитывая определение производной функции для ее приближенного вычисления можно использовать формулу Погрешность аппрюксимации этой формулы численного дифференцирования стремится к нулю при
Одним из распространенных методов аппроксимации является дискретизация - приближенная замена исходной задачи конечномерной задачей, т.е. задачей, входные данные и искомое решение которой могут быть однозначно заданы конечным набором чисел. Для задач, которые не являются конечномерными, этот шаг необходим для последующей реализации на ЭВМ, так как вычислительная машина в состоянии оперировать лишь с конечным количеством чисел. В приведенных выше примерах 3.15 и 3.16 была использована дискретизация. Хотя точное вычисление интеграла и предполагает использование бесконечного числа значений (для всех его приближенное значение можно вычислить, используя конечное число значений в точках а Аналогично, задача вычисления производной, точное решение которой предполагает выполнение операции предельного перехода при (а следовательно, использование бесконечного числа значений функции сводится к приближенному вычислению производной по двум значениям функции.
При решении нелинейных задач широко используют различные методы линеаризации, состоящие в приближенной замене исходной задачи более простыми линейными задачами. Пример 3.17. Пусть требуется приближенно вычислить значение для на ЭВМ, способной выполнять простейшие арифметические операции. Заметим, что по определению х является положительным корнем нелинейного уравнения Пусть некоторое известное приближение к Заменим параболу а прямой являющейся касательной, проведенной к ней в
точке с абциссой Точка пересечения этой касательной с осью дает лучшее, чем приближение и находится из линейного уравнения Решая его, получаем приближенную формулу
Например, если для взять то получится уточненное значение
При решении разных классов вычислительных задач могут использоваться различные методы аппроксимации; к ним можно отнести и методы регуляризации решения некорректных задач. Заметим, что методы регуляризации широко используют и для решения плохо обусловленных задач.
3. Прямые методы.
Метод решения задачи называют прямым, если он позволяет получить решение после выполнения конечного числа элементарных операций.
Пример 3.18. Метод вычисления корней квадратного уравнения по формулам является прямым методом. Элементарными здесь считаются четыре арифметические операции и операция извлечения квадратного корня.
Заметим, что элементарная операция прямого метода может оказаться довольно сложной (вычисление значений элементарной или специальной функции, решение системы линейных алгебраических уравнений, вычисление определенного интеграла и т.д.). То, что она принимается за элементарную, предполагает во всяком случае, что ее выполнение существенно проще вычисления решения всей задачи.
При построении прямых методов существенное внимание уделяется минимизации числа элементарных операций.
Пример 3.19 (схема Горнера). Пусть задача состоит в вычислении значения многочлена
по заданным коэффициентам и значению аргумента х. Если вычислять многочлен непосредственно по формуле (3.12), причем находить последовательным умножением на х, то потребуется выполнить операций умножения и операций сложения.
Значительно более экономичным является метод вычисления, называемый схемой Горнера. Он основан на записи многочлена в следующем эквивалентном виде:
Расстановка скобок диктует такой порядок вычислений: Здесь вычисление значения потребовало выполнения только операций умножения и операций сложения.
Схема Горнера интересна тем, что дает пример оптимального по числу элементарных операций метода. В общем случае значение нельзя получить никаким методом в результате выполнения меньшего числа операций умножения и сложения.
Иногда прямые методы называют точными, подразумевая под этим, что при отсутствии ошибок во входных данных и при точном выполнении элементарных операций полученный результат также будет точным. Однако при реализации метода на ЭВМ неизбежно появление вычислительной погрешности, величина которой зависит от чувствительности метода к ошибкам округления. Многие прямые (точные) методы, разработанные в домашинный период, оказались непригодными для машинных вычислений именно из-за чрезмерной чувствительности к ошибкам округления. Не все точные методы таковы, однако стоит заметить, что не совсем удачный термин "точный" характеризует свойства идеальной реализации метода, но отнюдь не качество полученного при реальных вычислениях результата.
4. Итерационные методы.
Это - специальные методы построения последовательных приближений к решению задачи. Применение метода начинают с выбора одного или нескольких начальных приближений. Для получения каждого из последующих приближений выполняют однотипный набор действий с использованием найденных ранее приближений - итерации. Неограниченное продолжение этого итерационною процесса теоретически позволяет построить бесконечную последовательность приближений к решению
итерационную последовательность. Если эта последовательность сходится к решению задачи, то говорят, что итерационный метод сходится. Множество начальных приближений, для которых метод сходится, называется областью сходимости метода.
Заметим, что итерационные методы широко используются при решении самых разнообразных задач с применением ЭВМ.
Пример 3.20. Рассмотрим известный итерационный метод, предназначенный для вычисления (где метод Ньютона. Зададим произвольное начальное приближение Следующее приближение вычислим по формуле выведенной с помощью метода линеаризации в примере 3.17 (см. формулу (3.11)). Продолжая этот процесс далее, получим итерационную последовательность в которой очередное приближение вычисляется через по рекуррентной формуле
Известно, что этот метод сходится при любом начальном приближении так что его область сходимости - множество всех положительных чисел.
Вычислим с его помощью значение на -разрядной десятичной ЭВМ. Зададим (как в примере 3.17). Тогда Дальнейшие вычисления бессмысленны, так как из-за ограниченности разрядной сетки все следующие уточнения будут давать тот же результат. Однако сравнение с точным значением показывает, что уже на третьей итерации были получены 6 верных значащих цифр.
Обсудим на примере метода Ньютона некоторые типичные для итерационных методов (и не только для них) проблемы. Итерационные методы по своей сути являются приближенными; ни одно из получаемых приближений не является точным значением решения. Однако сходящийся итерационный метод дает принципиальную возможность найти решение с любой заданной точностью Поэтому, применяя итерационный метод, всегда задают требуемую точность и итерационный процесс прерывают, как только она достигается.
Хотя сам факт сходимости метода безусловно важен, он недостаточен для того, чтобы рекомендовать метод для использования на практике. Если метод сходится очень медленно (например, для получения решения с точностью в 1% нужно сделать итераций), то он непригоден для вычислений на ЭВМ. Практическую ценность представляют быстро сходящиеся методы, к которым относится и метод Ньютона (напомним, что точность в вычислении была достигнута всего за три итерации). Для теоретического исследования скорости сходимости и условий применимости итерационных методов выводят так называемые априорные оценки погрешности, позволяющие еще до вычислений дать некоторое заключение о качестве метода.
Приведем две такие априорные оценки для метода Ньютона. Пусть Известно, что тогда для всех и погрешности двух последовательных приближений связаны следующим неравенством:
Здесь величина, характеризующая относительную погрешность приближения. Это неравенство говорит об очень высокой квадратичной скорости сходимости метода: на каждой итерации "ошибка" возводится в квадрат. Если выразить через погрешность начального приближения, то получим неравенство
из которого вида роль хорошего выбора начального приближения. Чем меньше величина тем быстрее будет сходиться метод.
Практическая реализация итерационных методов всегда связана с необходимостью выбора критерия окончания итерационного процесса. Вычисления не могут продолжаться бесконечно долго и должны быть прерваны в соответствии с некоторым критерием, связанным, например, с достижением заданной точности. Использование для этой цели априорных оценок чаще всего оказывается невозможным или неэффективным. Качественно верно описывая поведение метода, такие оценки являются завышенными и дают весьма недостоверную количественную информацию. Нередко априорные оценки содержат неизвестные
величины (например, в оценках (3.14), (3.15) содержится величина а), либо предполагают наличие и серьезное использование некоторой дополнительной информации о решении. Чаще всего такой информации нет, а ее получение связано с необходимостью решения дополнительных задач, нередко более сложных, чем исходная.
Для формирования критерия окончания по достижении заданной точности, как правило, используют так называемые апостериорные оценки погрешности - неравенства, в которых величина погрешности оценивается через известные или получаемые в ходе вычислительного процесса величины. Хотя такими оценками нельзя воспользоваться до начала вычислений, в ходе вычислительного процесса они позволяют давать конкретную количественную оценку погрешности.
Например, для метода Ньютона (3.13) справедлива следующая апостериорная оценка:
С. Улам использовали случайные числа для моделирования с помощью ЭВМ поведения нейтронов в ядерном реакторе. Эти методы могут оказаться незаменимыми при моделировании больших систем, но подробное их изложение предполагает существенное использование аппарата теории вероятностей и математической статистики и выходит за рамки данной книги.
Методические указания для студентов I курса
Базей Александр Анатольевич
Одесса 2008
ЛИТЕРАТУРА
1 Хемминг Р.В. Численные методы для научных работников и инженеров. – М.: Наука, 1968. – 400 с.
2 Блажко С.Н. Курс сферической астрономии. – Москва, Ленинград, ОГИЗ, 1948. – 416 с.
3 Щиголев Б.М. Математическая обработка наблюдений. – М.: Наука, 1969. – 344 с.
4 Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы. – М.: Наука, 1977. том I, том II – 400 с.
5 Худсон Д. Статистика для физиков. – М.: Мир, 1967. – 244 с.
6.Берман Г.Н. Приемы счета. – Москва, 1953. – 88 с.
7.Румшинский Л.З. Математическая обработка результатов эксперимента. – Москва, Наука 1971. – 192 с.
8.Калиткин Н.Н. Численные методы. – Москва, Наука 1978. – 512 с.
9.Фильчаков П.Ф. Численные и графические методы прикладной математики. – Киев, «Наукова думка», 1970. – 800 с.
10.Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1-3. – Москва, Наука 1966.
Приближенные вычисления 2
О построении графиков
Сглаживание 10
Аппроксимация 12
Спрямление (линеаризация) 13
Метод наименьших квадратов 15
Интерполирование 24
Интерполяционный полином Лагранжа 26
Остаточный член формулы Лагранжа 29
Интерполяционный полином Ньютона для таблицы с переменным шагом 30
Интерполирование по таблице с постоянным шагом 34
Интерполяционнные полиномы Стирлинга, Бесселя, Ньютона 37
Интерполирование по таблице функции двух аргументов 42
Дифференцирование по таблице 44
Численное решение уравнений 46
Дихотомия (метод деления пополам) 46
Метод простых итераций 47
Метод Ньютона 50
Поиск минимума функции одной переменной 51
Метод золотого сечения 51
Метод парабол 54
Вычисление определенного интеграла 56
Формула трапеций 59
Формула средних или формула прямоугольников 61
Формула Симпсона 62
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача Коши 64
Классический метод Эйлера 66
Уточненный метод Эйлера 67
Метод прогноза и коррекции 69
Методы Рунге-Кутта 71
Гармонический анализ 74
Ортогональные системы функций 78
Метод 12 ординат 79
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
Решим простую задачу. Допустим, что студент живет на расстоянии 1247 м от вокзала. Поезд отходит в 17 часов 38 мин. За сколько времени до отхода поезда студент должен выйти из дому, если его средняя скорость равна 6 км/час?
Решение получаем сразу:
.
Однако вряд ли в действительности кто-либо стал бы пользоваться этим математически точным решением и вот почему. Вычисления выполнены совершенно точно, но точно ли измерено расстояние до вокзала? Можно ли вообще измерить путь пешехода, не допустив никаких погрешностей? Может ли пешеход передвигаться по строго определенной линии в городе, где полно людей и автомобилей, которые перемещаются во всевозможных направлениях? А скорость 6 км/час – разве она определена абсолютно точно? И так далее.
Вполне понятно, что каждый отдаст предпочтение в данном случае не «математически точному», а «практическому» решению этой задачи, то есть прикинет, что идти 12-15 минут и прибавит еще несколько минут для гарантии.
Для чего же в таком случае вычислять секунды и их доли и стремиться к такой степени точности, которой нельзя воспользоваться на практике?
Математика наука точная, но понятие «точности» само требует уточнения. Для этого надо начинать с понятия числа, поскольку от точности чисел, от достоверности исходных данных в значительной мере зависит точность результатов вычислений.
Источников получения чисел есть три: счет, измерения и выполнение различных математических операций
Если количество пересчитываемых предметов невелико и если оно постоянно во времени, то мы будем получать абсолютно точные результаты. Например, на руке 5 пальцев, в ящике 300 подшипников. Иначе обстоит дело, когда говорят: в Одессе в 1979 году было 1000 000 жителей. Ведь люди рождаются и умирают, приезжают и уезжают; число их все время меняется даже за тот промежуток времени, в течение которого выполнен счет. Поэтому на самом деле имеется в виду, что жителей было около 1 000 000, может быть 999125, или 1001263, или еще какое-нибудь число, близкое к 1 000 000. В этом случае 1 000 000 даетприближенное число жителей города.
Любое измерение нельзя выполнить абсолютно точно. Каждый прибор дает какую-либо погрешность. Кроме того, два наблюдателя, измеряя одним и тем же прибором одну и ту же величину, обычно получают несколько различные результаты, полное же совпадение результатов является редким исключением.
Даже такой простейший измерительный прибор, как линейка, имеет «ошибку прибора» - ребра и плоскости линейки несколько отличаются от идеальных прямых и плоскостей, штрихи на линейке не могут быть нанесены на абсолютно равных расстояниях, да и сами штрихи имеют определенную толщину; так что при измерении мы не можем получить результаты более точные, чем толщина штрихов.
Если вы измерили длину стола и получили значение 1360.5 мм, то это вовсе не значит, что длина стола ровно 1360.5 мм – если этот стол измерит другой или вы повторите измерение, то можно получить значение и 1360.4 мм, и 1360.6 мм. Число 1360.5 мм выражает длину стола приближенно .
Математические операции также не все можно выполнить без ошибок. Извлечь корень, найти синус или логарифм, даже разделить не всегда можно абсолютно точно.
Все без исключения измерения приводят к приближенным значениям измеряемых величин . В некоторых случаях измерения проводятся грубо, тогда получаются большие погрешности, при тщательных измерениях погрешности получаются меньше. Абсолютная точность при измерениях не достигается никогда.
Рассмотрим теперь вторую сторону вопроса. Нужна ли на практике абсолютная точность и какую ценность представляет приближенный результат?
При расчете линии электропередачи или газопровода никто не будет определять расстояние между опорами с точностью до миллиметра или диаметр трубы с точностью до микрона. В технике и строительстве каждую деталь или сооружение можно изготовить только в пределах определенной точности, которая определяется так называемыми допусками. Эти допуски колеблются от частей микрона до миллиметров и сантиметров, в зависимости от материала, размера и назначения детали или сооружения. Следовательно, для определения размеров детали не имеет никакого смысла вести вычисления с точностью большей, чем та, которая необходима.
1) Исходные данные для вычислений, как правило, имеют погрешности, то есть являются приближенными;
2) Эти погрешности, часто увеличенными, переходят в результаты вычислений. Но практика и не требует точных данных, а довольствуется результатами с некоторыми допустимыми погрешностями, величина которых должна быть наперед заданной.
3) Обеспечить необходимую точность результата можно только тогда, когда исходные данные будут достаточно точными и когда учитываются все погрешности, которые привносятся самими вычислениями.
4) Вычисления с приближенными числами надо выполнять приближенно, стремясь при решении задачи достигнуть минимальной затраты труда и времени.
Обычно в технических расчетах допустимые погрешности находятся в пределах от 0.1 до 5%, но в научных вопросах они могут быть снижены до тысячных долей процента. Например, при запуске первого искусственного спутника Луны (31 марта 1966 г.) стартовая скорость около 11200 м/сек должна была быть обеспечена с точностью до нескольких сантиметров в секунду, чтобы спутник вышел на окололунную, а не околосолнечную орбиту.
Заметим, кроме того, что правила арифметики выведены в предположении, что все числа точные. Поэтому, если вычисления с приближенными числами выполнять как с точными, то создается опасное и вредное впечатление точности там, где ее в действительности нет. Истинная научная, и, в частности, математическая точность состоит именно в том, чтобы указать на наличие почти всегда неизбежных погрешностей и определить их пределы.
Определители
Понятие определителя
Любой квадратной матрице n-го порядка можно поставить в соответствие число, которое называется определителем (детерминантом)
матрицы A и обозначается так: 
, или , или det A.
Определителем матрицы первого порядка , или определителем первого порядка, называется элемент
Определитель второго порядка (определитель матрицы второго порядка) вычисляется следующим образом:
 |
Рис. Схема вычисления определителя второго порядка
Таким образом, определитель второго порядка есть сумма 2=2! слагаемых, каждое из которых представляет собой произведение 2-х сомножителей – элементов матрицы A, по одному из каждой строки и каждого столбца. Одно из слагаемых берется со знаком «+», другое – со знаком «-».
Найти определитель
Определитель третьего порядка (определитель квадратной матрицы третьего порядка) задается равенством:
Таким образом, определитель третьего порядка есть сумма 6=3! слагаемых, каждое из которых представляет собой произведение 3-х сомножителей – элементов матрицы A, по одному из каждой строки и каждого столбца. Одна половина слагаемых берется со знаком «+», другая – со знаком «-».
Основным методом вычисления определителя третьего порядка является так называемое правило «треугольников» (правило Саррюса): первое из трех слагаемых, входящих в сумму со знаком «+», есть произведение элементов главной диагонали, второе и третье – произведения элементов, находящихся в вершинах двух треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали; три слагаемых, входящих в сумму со знаком «-», определяются аналогично, но относительно второй (побочной) диагонали. Ниже представлены 2 схемы вычисления определителей третьего порядка
б)
Рис. Схемы вычисления определителей 3 порядка
Найти определитель:
Определитель квадратной матрицы n-го порядка (n 4) вычисляется с использованием свойств определителей.
Основные свойства определителей. Методы вычисления определителей
Определители матриц имеют следующие основные свойства:
1. Определитель не меняется при транспонировании матрицы.
2. Если в определителе поменять местами две строки (или столбца), то определитель поменяет знак.
3. Определитель с двумя пропорциональными (в частности, равными) строками (столбцами) равен нулю.
4. Если в определителе строка (столбец) состоит из нулей, то определитель равен нулю.
5. Общий множитель у элементов какой-либо строки (или столбца) можно вынести за знак определителя.
6. Определитель не изменится, если ко всем элементам одной строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и то же число.
7. Определитель диагональной и треугольной (верхней и нижней) матриц равен произведению диагональных элементов.
8. Определитель произведения квадратных матриц равен произведению их определителей.
Основываясь на понятиях определителей второго и третьего порядков, можно аналогично ввести понятие определителя порядка n . Определители порядка выше третьего вычисляются, как правило, с использованием свойств определителей, сформулированных в п. 1.3., которые справедливы для определителей любого порядка.
Используя свойство определителей номер 9 0 введем определение определителя 4-го порядка:
Пример 2. Вычислить, используя подходящее разложение.
Аналогично вводится понятие определителя 5-го, 6-го и т.д. порядка. Значит определитель порядка n:
.
Все свойства определителей 2-го и 3-го порядков, рассмотренные раннее, справедливы и для определителей n-го порядка.
Рассмотрим основные методы вычисления определителей n -го порядка.
Замечание: прежде чем применять этот метод, полезно, используя основные свойства определителей, обратить в нуль все, кроме одного, элементы его некоторой строки или столбца. (Метод эффективного понижения порядка)
Метод приведения к треугольному виду заключается в таком преобразовании определителя, когда все его элементы, лежащие по одну сторону от главной диагонали, становятся равными нулю. В этом случае определитель равен произведению элементов его главной диагонали.
Пример 3. Вычислить, приведением к треугольному виду.
Пример 4. Вычислить, используя метод эффективного понижения порядка
.
Решение: по свойству 4 0 определителей из первой строки вынесем множитель 10, а затем будем последовательно умножать вторую строку на 2, на 2, на 1 и складывать соответственно с первой, с третьей и четвертой строками (свойство 8 0).
.
Полученный определитель можно разложить по элементам первого столбца. Он будет сведен к определителю третьего порядка, который вычисляется по правилу Саррюса (треугольника).
Пример 5. Вычислить определитель, приведением к треугольному виду.
.
Пример 3. Вычислить, используя рекуррентные соотношения.
.
.
Лекция 4. Обратная матрица. Ранг матрицы.
1. Понятие обратной матрицы
Определение 1. Квадратная матрица А порядка n называется невырожденной, если ее определитель |A | ≠ 0. В случае, когда | A | = 0, матрица А называется вырожденной.
Только для квадратных невырожденных матриц А вводится понятие обратной матрицы А -1 .
Определение 2 . Матрица А -1 называется обратной для квадратной невырожденной матрицыА, если А -1 А = АА -1 = Е, где Е – единичная матрица порядка n .
Определение 3
.
Матрица
называетсяприсоединенной,
ее элементами являются алгебраические
дополнения
транспонированной матрицы
.
Алгоритм вычисления обратной матрицы методом присоединенной матрицы.
,
где
.
Проверяем правильность вычисления А -1 А = АА -1 = Е. (Е – единичная матрица)
Матрицы А и А -1 взаимообратные. Если | A | = 0, то обратная матрица не существует.
Пример
1.
Дана
матрица А. Убедиться, что она невырожденная,
и найти обратную матрицу
.
Решение:
.
Следовательно матрица невырожденная.
Найдем обратную матрицу. Составим алгебраические дополнения элементов матрицы А.
Получаем
.
Представление как исходных данных в задаче, так и её решения - в виде числа или набора чисел
В системе подготовки инженеров технических специальностей является важной составляющей.
Основами для вычислительных методов являются:
- решение систем линейных уравнений
- интерполирование и приближенное вычисление функций
- численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений
- численное решение уравнений в частных производных (уравнений математической физики)
- решение задач оптимизации
См. также
Примечания
Литература
- Калиткин Н. Н. Численные методы. М., Наука, 1978
- Амосов А. А., Дубинский Ю. А., Копченова Н. В. «Вычислительные методы для инженеров», 1994
- Флетчер К «Вычислительные методы в динамике жидкостей», изд. Мир, 1991 г., 504 стр.
- Е. Алексеев «Решение задач вычислительной математики в пакетах Mathcad 12, MATLAB 7, Maple 9», 2006 г., 496 стр.
- Тихонов А. Н., Гончарский А. В., Степанов В. В., Ягола А. Г. «Численные методы решения некорректных задач» (1990)
- Бакушинский А. Б., Гончарский А. В. Некорректные задачи. Численные методы и приложения, изд. Издательство Московского университета, 1989 г.
- Н. Н. Калиткин, А. Б. Альшин, Е. А. Альшина, В. Б. Рогов. Вычисления на квазиравномерных сетках. Москва, Наука, Физматлит, 2005, 224 стр.
- Ю. Рыжиков «Вычислительные методы» изд. BHV, 2007 г., 400 стр., ISBN 978-5-9775-0137-8
- Вычислительные методы в прикладной математике , Международный журнал, ISSN 1609-4840
Ссылки
- Научный журнал «Вычислительные методы и программирование. Новые вычислительные технологии»
Wikimedia Foundation . 2010 .
- Вычислительная математика и математическая физика
- Вычислительный конвейер
Смотреть что такое "Вычислительные методы" в других словарях:
Методы электроаналитической химии - Содержание 1 Методы электроаналитической химии 2 Введение 3 Теоретическая часть … Википедия
Методы кодирования цифровых сигналов - В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете … Википедия
ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ - методы решения задач газовой динамики на основе вычислительных алгоритмов. Рассмотрим основные аспекты теории численных методов решения задач газовой динамики, записав газовой динамики уравнения в виде законов сохранения в инерциальной… … Математическая энциклопедия
ДИФФУЗИОННЫЕ МЕТОДЫ - методы решения кинетич. уравнения переноса нейтронов (или других частиц), модифицирующие уравнения диффузионного приближения. Поскольку диффузионное приближение дает правильную форму асимптотич. решения уравнения переноса (вдали от источников и… … Математическая энциклопедия
ОВРАЖНЫХ ФУНКЦИЙ МЕТОДЫ МИНИМИЗАЦИИ - численные методы отыскания минимумов функций многих переменных. Пусть задана ограниченная снизу дважды непрерывно дифференцируемая по своим аргументам функция для к рой известно, что при нек ром векторе (знак транспонирования) она принимает… … Математическая энциклопедия
ГОСТ Р 53622-2009: Информационные технологии. Информационно-вычислительные системы. Стадии и этапы жизненного цикла, виды и комплектность документов - Терминология ГОСТ Р 53622 2009: Информационные технологии. Информационно вычислительные системы. Стадии и этапы жизненного цикла, виды и комплектность документов оригинал документа: 3.1 аппаратно программная платформа: Единый комплекс средств… …
Аппликативные вычислительные системы - Аппликативные вычислительные системы, или АВС, включают системы исчислений объектов, основанные на комбинаторной логике и ламбда исчислении. Единственное, что существенно разрабатывается в этих системах это представление об объекте. В… … Википедия
ГОСТ 24402-88: Телеобработка данных и вычислительные сети. Термины и определения - Терминология ГОСТ 24402 88: Телеобработка данных и вычислительные сети. Термины и определения оригинал документа: ТИПЫ СИСТЕМ И СЕТЕЙ 90. Абонентская система обработки данных Абонентская система Subscriber system Система обработки данных,… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
СТ СЭВ 4291-83: Машины вычислительные и системы обработки данных. Пакеты магнитных дисков емкостью 100 и 200 Мбайт. Технические требования и методы испытаний - Терминология СТ СЭВ 4291 83: Машины вычислительные и системы обработки данных. Пакеты магнитных дисков емкостью 100 и 200 Мбайт. Технические требования и методы испытаний: 8. Амплитуда сигнала с информационной поверхности VТАА Усредненная по всей … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
Геофизические методы разведки - исследование строения земной коры физическими методами с целью поисков и разведки полезных ископаемых; разведочная геофизика составная часть геофизики (См. Геофизика). Г. м. р. основаны на изучении физических полей… … Большая советская энциклопедия
Книги
- Вычислительные методы. Учебное пособие , Амосов Андрей Авенирович, Дубининский Юлий Андреевич, Копченова Наталья Васильевна. В книге рассматриваются вычислительные методы, наиболее часто используемые в практике прикладных и научно-технических расчетов: методы решения задач линейной алгебры, нелинейных уравнений,…